Este trabalho apresenta uma abordagem matemática para modelar o crescimento celular utilizando equações diferenciais ordinárias e o método do fator integrante. Supondo que o crescimento da célula seja proporcional à sua massa atual, a equação diferencial que descreve esse processo é:

dm/dt = km

onde m(t) é a massa da célula no tempo t e k é uma constante de crescimento. A solução desta equação pode ser obtida utilizando o método do fator integrante, uma técnica matemática comum para resolver equações diferenciais de primeira ordem.

Primeiro, reescrevemos a equação diferencial na forma padrão:

dm/dt - km = 0

O fator integrante μ(t) é encontrado como e^{-kt}, multiplicando ambos os lados da equação por esse fator. Isso simplifica a equação para:

d/dt (e^{-kt} m) = 0

Integrando ambos os lados, obtemos:

e^{-kt} m = C

onde C é uma constante de integração. A solução geral da equação é então m(t) = C e^{kt}. Utilizando a condição inicial m(0) = m_0, determinamos que C = m_0, resultando na solução:

m(t) = m_0 e^{kt}

Essa solução revela que o crescimento celular segue uma lei exponencial, onde a massa da célula aumenta de forma cada vez mais rápida ao longo do tempo. Entretanto, há um limite físico de crescimento, representado por uma massa máxima M, após o qual a célula se divide. O tempo t até que a célula atinja esse tamanho máximo pode ser determinado pela fórmula:

t < (1/k) ln(M/m_0)

Além disso, o conceito de 'crescimento específico' é destacado neste modelo. Ele mostra que a taxa percentual de crescimento em relação à massa da célula permanece constante ao longo do tempo, expressa pela equação:

(1/m) (dm/dt) = k

Este modelo, que utiliza o método do fator integrante para resolver a equação diferencial, fornece uma ferramenta matemática poderosa para prever o comportamento do crescimento celular. Ele demonstra como equações diferenciais podem ser aplicadas a fenômenos biológicos, facilitando a análise quantitativa e a previsão de quando a célula atingirá seu limite de crescimento e se dividirá.